C语言实现求解素数的N种方法总结

埃拉托色尼是一名古希腊的地理学家,他是世界上第一个计算出地球周长的人。
埃拉托色尼素数筛选法可以很快速的计算出1到N之间的所有素数。
埃拉托色尼素数筛选法大概的计算思路是:将n开根号,即N^0.5 ,去掉2到N^0.5中所有素数的倍数,剩下的数便都是素数了。
例如求1到25中的素数有哪些,第一步是将25开根号,得到5;第二步将2到5的素数取出来,分别是2、3、5:再将2到25中且是2、3、5的倍数的数去掉,即去掉4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、 20、21、22、24、25;剩下2、3、5、7、11、13、17、19便是1到25中的所有素数了。
从上面我们可以看出筛选法和试除法其实有着本质上的区别,试除法是判断每一个数是不是素数来达到目的;而筛选法不是如此,筛选法是将不是素数的数全部去除,然后得到余下的数来达到目的~

境界1实现思路分析:

  • 首先,利用第一层for循环产生100~200的整数;
  • 其次,利用第二层for循环产生2~ i - 1之间的整数,并让100到200之间的每一个数和2到 i - 1之间的整数试除。
  • 定义flag变量,若flag为0,则不是素数;若flag为1,则是素数。
  • 定义count变量,记录试除次数。
  • 境界1算法的理性分析:境界1,简单来说就是让每一个数i和2~ i-1的数试除,这是最简单的想法,但是算法的效率是最低的~

看了文字的描述,大家可能理解的还是不够深刻。这里敲出代码辅助大家理解~

境界1源码:

#include<stdio.h>
int main()
{
	
	int count = 0;//记录试除次数
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 100; i <= 200; i++)
	{
		int flag = 1;//flag最终结果为1,表示i是素数,为0表示不是素数。
		for (j = 2; j < i; j++)
		{
			count++;
			if (i % j == 0)
			{
				flag = 0;
				break;
			}

		}
		if(flag == 1)
		printf("%d ", i);
	}
	printf("\n境界1试除总次数:%d", count);
	return 0;
}

代码结果运行图:

D27E3D46-8419-4CCA-9AFE-1FD2B78BDC21.png
由境界1求解100~200之间的素数,需要试除3292次!!!可见其算法效率如何啦。

试除法境界2~

境界2实现思路分析:

  • 首先利用第一层for循环产生101~199的整数,这是和境界1最本质的区别!为什么这样设计呢?原因很简单,因为100到200之间的偶数一定不是素数,可以不用参与试除过程。
  • 其次,利用第二层for循环产生2~ i - 1之间的整数,并让101到199之间的每一个数和2到 i -1之间的整数试除。
  • 定义flag变量,若flag为0,则不是素数;若flag为1,则是素数。
  • 定义count变量,记录试除次数。
  • 境界2算法的理性分析:境界2和境界1类似,就是让每一个数i和2~ i-1的数试除,但是境界2能够提前让一些本不可能是素数的整数(100—200间的偶数)提前排除掉~

境界2源码:

#include<stdio.h>
int main()
{
	
	int count = 0;//记录试除次数
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 101; i < 200; i+=2)//提前排除100到200之间的偶数,符合这个条件一定不是素数。
	{
		int flag = 1;//flag最终结果为1,表示i是素数,为0表示不是素数。
		for (j = 2; j < i; j++)
		{
			count++;
			if (i % j == 0)
			{
				flag = 0;
				break;
			}

		}
		if(flag == 1)
		printf("%d ", i);
	}
	printf("\n境界2试除总次数:%d", count);
	return 0;
}

代码结果运行图:

FAD78CC8-8146-810D-B87D-C90F93690C67.png

由境界2求解100~200之间的素数,需要试除3241次,稍微比境界1好那么一丢丢啦!但是其算法效率还是不尽人意

试除法境界3~

境界3实现思路分析:

  • 首先,利用第一层for循环产生100~200的整数;
  • 其次,利用第二层for循环产生2~ sqrt(i)之间的整数,并让101到199之间的每一个数和2到 sqrt(i)之间的整数试除。为什么这样设计呢?

    设计思路分析:因为任何一个不是素数的数即合数,都一定可以进行因式分解。这里已16举例说明,16 = 2 * 8 = 4 * 4 。因此如果16被2整除就可以判定16不是素数了,就不用那2到 i - 1的每一个数都试除一遍啦。 因此,只需要拿2 ~sqrt(i)的数试除即可,这样大大提高了算法的效率!

  • 定义flag变量,若flag为0,则不是素数;若flag为1,则是素数。
  • 定义count变量,记录试除次数。
  • 境界3算法的理性分析:境界3相比于前面两种境界,做了很大的改进!让每一个数试除的测试减少了至少一半,大大减少了试除的次数,从而大大提高了算法的效率!!!

境界3源码:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{

	int count = 0;//记录试除次数
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 100; i <= 200; i++)
	{
		int flag = 1;//flag最终结果为1,表示i是素数,为0表示不是素数。
		for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)//只需要试除2到sqrt(i)之间的整数即可
		{
			count++;
			if (i % j == 0)
			{
				flag = 0;
				break;
			}

		}
		if (flag == 1)
			printf("%d ", i);
	}
	printf("\n境界3试除总次数:%d", count);
	return 0;
}

代码结果运行图:

7A3FDE35-E6DA-4CB6-53F9-26AE3A295401.png

由境界4求解100~200之间的素数,只需要试除393次,相比于境界1和境界2的算法效率来说,已经有长足的改进啦!

试除法境界4~

境界4实现思路分析:

  • 首先,采用境界2的算法思想。利用第一层for循环产生101~199的整数。
  • == 其次,利用境界三的试除想法,拿2 ~sqrt(i)的数试除。==
  • 定义flag变量,若flag为0,则不是素数;若flag为1,则是素数。
  • 定义count变量,记录试除次数。
  • 境界4算法的理性分析:境界4相比于境界3,再做优化!先排除掉偶数。

境界4源码:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{

	int count = 0;//记录试除次数
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 101; i < 200; i += 2)//排除100到200之间的2的倍数,符合这个条件一定不是素数。
	{
		int flag = 1;//flag最终结果为1,表示i是素数,为0表示不是素数。
		for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)//只需要试除2到sqrt(i)之间的整数即可
		{
			count++;
			if (i % j == 0)
			{
				flag = 0;
				break;
			}

		}
		if (flag == 1)
			printf("%d ", i);
	}
	printf("\n境界4试除总次数:%d", count);
	return 0;
}

代码结果运行图:

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由境界4求解100~200之间的素数,试除总次数为342,是,综合考虑了境界2和境界3的改良思想,已经达到了试除法的最高境界啦!

境界5(基础筛选法)实现思路分析:
  • 首先,找到最小的质数2,再把范围内的所有2的倍数去掉;然后接下来找次小的质数3,再把所有3的倍数去掉;接着往复筛选去除,剩下的那些就全是素数啦!
  • 这里需要设计一个数组,只要满足上述这些步骤,即将大于1的且是2、3、4…的倍数全部置为0。最终不是0的数就是所谓的素数啦!
筛选法境界5~

境界5源码:

#include<stdio.h>
int main()
{
	int i = 0;
	int j = 0;
	int arr[100];
	int count = 0;
	for (i = 0; i < 100; i++)
	{
		arr[i] = 100 + i;//将数组先初始化存储100到199。
                        //没有存储200也没关系,200一定不是素数
		
	}
	for (i = 0; i < 100; i++)
	{
		j = i + 1;
		while (j > 1)
		{
			count++;
			if (arr[i] % j == 0)
				arr[i] = 0;
			j = j - 1;
		}
	}
	for (j = 1; j < 100; j++)
	{
		if (arr[j] != 0)
		{
			printf("%d ", arr[j]);
		}
	}
	return 0;
}

代码结果运行图:

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