Python机器学习高数篇之泰勒公式

不知道大家有没有类似的经历,斗志满满地翻开厚厚的机器学习书,很快被一个个公式炸蒙了。

想要学习机器学习算法,却很难看的懂里面的数学公式,实际应用只会调用库里的函数,无法优化算法。

学好机器学习,没有数学知识是不行的。数学知识的积累是一个漫长的过程,罗马也不是一夜建成的。

如果想要入门机器学习,数学基础比较薄弱,想打牢相关数学基础,可以关注笔者,一起学习(数学大佬也可以来扫一眼python代码)~


接下来我们以高数(同济第七版)课后习题为例,使用python语言来求解函数和导数的习题。

这样大家做课后练习的时候,也可以用python验证一下做的对不对。

这里用到两个常见的Python库,sympy和numpy,学习的时候可以参考官方文档。

sympy 是Python语言编写的符号计算库,这里用于处理数学对象的计算称为符号计算。

官方在线文档:https://docs.sympy.org/dev/index.html

numpy是一个Python库,支持大量的多维数组及矩阵运算,提供用于数组快速操作的各种API。

官方在线文档:https://www.numpy.org.cn/reference/

函数极限

我们来看一下高数课本(同济第七版)对函数极限的定义:

5E06020D-1BEB-DE5B-07C6-0EBE929FC658.png

当时上课的时候就觉得这段函数定义太反人类了啊,瞬间打击学习高数的兴趣。

为什么函数极限的定义会这么难以理解呢?

这里需要插入数学史的内容了,这个问题要追溯到几百年前…

古希腊的数学家在处理无穷小和极限问题时,使用穷竭法等方法非常的繁琐。

到了牛顿时代,微积分还不成熟,也就是说牛顿当时也没把无穷小和极限的问题弄明白。

后面一个个大牛都试图把相关的漏洞补齐,我们看到的这个ε-δ定义的极限,是由维尔斯特拉斯总结了前面各个大牛的经验,最终提出来的。

所以最终这个定义我们看不懂也正常,这个概念的形成大约经历了几百年,就算拿给当时的牛顿看也是蒙的呢。

不过这个定义,也是公认的非常严谨、接近本质的函数极限定义了。

光说概念太没意思了,学数学嘛,肯定要做题。我们来看几道高数题吧——


函数极限练习题1(高数课后练习1-3第五题 ):

证明:C1F0067F-B51B-4A09-1EDD-2E6B3FEC34CC.png

python版证明:

import sympy
from sympy import oo
import numpy as np
x = sympy.Symbol('x')
f = (x ** 2 - 4)/(x + 2)
sympy.limit(f,x,-2)

输出:-4

函数极限练习题2(高数课后习题1-3第6题):

证明:7F34E861-4679-E8E8-AC84-C22E62D6BAF6.png

python版证明:

import sympy           #导入sympy符号计算库
from sympy import oo   #oo为无穷大符号
import numpy as np
x = sympy.Symbol('x')
f = sympy.sin(x)/sympy.sqrt(x)
sympy.limit(f,x,oo)    #求极限

输出:0

关于limit的用法,我们来查看官方文档:

F056E796-7737-C684-8CEB-FFD36FF4B58D.png

导数
导数定义:

063DB490-FAB1-A8EC-3D99-967B2608BD52.png

理解了概念,来做几道导数题吧——

导数练习题一(高数 总习题二 第8题(1)):

求下列导数:202E7E93-5752-DDB2-03DB-6502DD8ABCA9.png

python版求导:

import sympy
from sympy import *
from sympy.abc import x,y
diff(asin(sin(x)))

输出

cos(x)/sqrt(-sin(x)**2 + 1)
python求导数的三种写法

python中求导数主要有三种方法,我们用练习二来演示:

导数练习题二:

求下列导数:CD3F2A29-D326-ABB5-9800-3699BAEAE0D9.png

方法一、使用sympy的diff函数。

diff版求导:

import sympy
from sympy import *
from sympy.abc import x,y
diff(5*x**4 + 4*x**3 +2*x**2 + x + 666)

输出:

20*x**3 + 12*x**2 + 4*x + 1
方法二、使用numpy库里的poly1d函数

在官方文档里,查看一下poly1d的用法:

A3BA76A1-3104-3345-EE89-A70B5F17566D.png

poly1d版求导:

import numpy as np
p = np.poly1d([5,4, 0 ,2 ,1]) #构造多项式,每项是多项式前的系数,幂次由高到低,没有该幂次该项为0
print(np.polyder(p,1)) #求一阶导数
print(p.deriv(1))	   #另一种方法求一阶导数

输出:

3      2
20 x + 12 x + 2
方法三、使用scipy.misc模块下的derivative函数

在官方文档里,查看一下derivative的用法:

53A979E2-7EC3-4C4D-0D33-92CF7DC89CB6.png

derivative版求导:

import numpy as npfrom scipy.misc 
import derivative
def f(x):    
	return (5*x**4 + 4*x**3 +2*x**2 + x + 666)
print (derivative(f,3,dx=1e-6))  #求x=3时的导数

输出:

661.0000001501248
收藏 (0)
评论列表
正在载入评论列表...
我是有底线的
为您推荐
    暂时没有数据